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信号完整性 - 阻抗与电气模型

阻抗(Electrical Impedance, Z)是电路中电阻、电感、电容对交流电的阻碍作用的统称,定义为电压与电流之比(\(Z=V/I\))。阻抗是一个复数,实部称为电阻,虚部称为电抗。其中电容在电路中对交流电所起的阻碍作用称为容抗,电感在电路中对交流电所起的阻碍作用称为感抗,容抗和感抗合称为电抗。

对于恒定的电压,阻抗越高,流经电流就越小,反之同理。极端情况下,开路的阻抗是无穷大的,短路的阻抗为零。在互连线中,阻抗是影响信号的关键因素。信号传播时,会不断根据瞬时阻抗做出相应的反应。

基本电气模型

在建立基本电气模型的过程中,我们会构想以下这几种理想的两端口元件:

  1. 理想电阻器
  2. 理想电容器
  3. 理想电感器
  4. 理想传输线

其中,理想阻容感的特性可以集中到一个点上,故称为 集总电路元件;而理想传输线的特性是沿着线分布的。目标是建立一个等效电路模型,使其阻抗尽可能贴近实际元件测得的阻抗。

时域中理想电阻器的阻抗

理想电阻器的阻抗是恒定的,数值大小与其电阻值相等,与电压、电流无关。

时域中理想电容器的阻抗

对理想电容器而言,两块极板之间储存的电荷与电压差有一定的关系,其容值的定义如下:

\[ C=\frac{Q}{V} \]

其中,C 表示电容值(单位 F),Q 表示极板间储存的电荷(C,库伦),V 表示两极板间电压(单位 V)。

电容的阻抗是通过其两端电压与流过的电流求得。实际上,电流并非真正流过电容,只是在电容两极板电压改变时,看似有电流在流动。

如上图所示,上极板增加了一些正电荷,下极板增加了一些负电荷的同时,把下极板原来存在的正电荷从推出去,这样看起来就像有电流穿过电容。这种在极化电介质中由束缚电荷位移形成的电流,称为 位移电流,它并不是真正的电流,而只是电荷的移动。其定义如下:

\[ I=\frac{dQ}{dt}=C\frac{dV}{dt} \]

从上式可看出,只有在电容两端电压发生变化时,才会有电流流过,如果电压固定不变,就不会有位移电流。

因此,理想电容的阻抗可以表示为:

\[ Z=\frac{V}{I}=\frac{V}{C\frac{dV}{dt}} \]

电容的阻抗与其两端电压波形有关。如果电压变化快(波形斜率大),则流过电流就大,阻抗也会越小;同理,当电压变化速率相同时,容值越大,阻抗就越小。

时域中理想电感器的阻抗

对理想电感器而言,其两端的电压定义如下:

\[ V=L\frac{dI}{dt} \]

其中,\(V\) 表示电感两端电压,\(L\) 表示电感值,\(I\) 表示流过电感的电流。可以看出,电感两端电压与流过电流变化的快慢有关,而电流快慢取决于两端电压差。两端电压差与电流变化速度谁是因谁是果,则取决于哪个是驱动源。电感的阻抗,可以表示为其两端电压与流经电流之比:

\[ Z=\frac{V}{I}=L\frac{\frac{dI}{dt}}{I} \]

如果流过电感的电流迅速增大,则阻抗就变得很大,反之同理;而如果电流为直流,则阻抗接近为 0。当然,电感的实际阻抗与电流的具体波形有着密切的关系。

频域中的阻抗

在上文可以看出,在时域中,电感器、电容器阻抗的计算公式都是相对复杂的函数,但是放在频域中分析,则会简单得多。

在频域中进行分析,正弦波是唯一存在的波形,所以只能通过研究它与理想元件的相互作用进行分析。正弦波的 3 个特征是:频率、幅度和相位。一般我们用弧度描述,角频率(\(rad/s\))与频率(\(f\))的关系为:

\[ \omega=2\pi f \]

我们在理想元件两端加上正弦电压,观察流经电流情况。阻抗仍定义为电压与电流之比,只不过现在是电压正弦波和电流正弦波之比了。而因为理想元件和理想传输线都是线性元件,所以呈现的电流与输入电压的频率是一致的。

根据阻抗的定义,阻抗的幅值可以表示为:

\[ |Z|=\frac{|V|}{|I|} \]

同时,需要计算两个波形之间的相位差。在频域中,可以这样表示阻抗:在 10MHz 下,阻抗幅值为 20Ω,相位是 30°(电压比电流超前 30°)。这三个要素缺一不可,因为阻抗幅值和相位都与频率相关,会随着频率的变化而变。除此之外,也可用复数表示频域中的阻抗,把相位信息囊括进复数中,以此简化计算。

频域中理想电阻器的阻抗

我们接着分析在频域中理想元件的阻抗。因为频域中仅需处理正弦电压与电流,所以如果使用电流源,施加正弦电流流过电阻器,就会在其两端产生一个正弦电压,可以表示为:

\[ V=I_0 sin(\omega t) \cdot R \]

正弦电压为 R 与正弦电流的乘积。根据上面的公式,理想电阻器的阻抗可以表示为:

\[ Z=\frac{V}{I}=\frac{I_0 sin(\omega t) \cdot R}{I_0 sin(\omega t)}=R \]

其实理想电阻器的阻抗就是其电阻值,且与频率无关,相位差为零。此结果与在时域中的结论一致。

频域中理想电容器的阻抗

分析频域中理想电容器的阻抗,需要在其两端加一个正弦电压,所以流经的电流可以表示为:

\[ I=C\frac{d V_0sin(\omega t)}{dt}=C\omega V_0 cos(\omega t) \]

可以看出,即使电压不变,电流也会随频率而变,频率越高,流经电流幅度越大。也就是说,电容器的阻抗会随频率升高而减小,可以表示为:

\[ Z=\frac{V}{I}=\frac{V_0 sin(\omega t)}{C\omega V_0 cos(\omega t)}=\frac{1}{\omega C}\cdot \frac{sin(\omega t)}{cos(\omega t)} \]

可见,阻抗幅值为 \(\frac{1}{\omega C}\),角频率增加时,阻抗会减小。

因为阻抗的相位是电压正弦波与电流正弦波的相位差,在电容器中就是正弦与余弦之间的相位差 \(-90°\),在复数中就是 \(-i\),所以用复数形式表示电容器阻抗就是 \(\frac{-i}{\omega C}\)

举个实际的例子,如果有一个理想的 10nF 去耦电容器,则在 \(1kHz\) 下其阻抗就是 \(\frac{1}{2\pi \cdot 1kHz \cdot 10nF}\approx 16kΩ\)。如果频率降为 \(1Hz\),则阻抗约为 \(16MΩ\)

频域中理想电感器的阻抗

对频域中理想电感器,我们施加正弦电流,则产生电压为:

\[ I=L\frac{d I_0sin(\omega t)}{dt}=L\omega I_0 cos(\omega t) \]

当电流幅度固定不变时,频率越高,两端电压就越大。也就是说,随着频率升高,需要更高的电压,才能维持电流幅度不变。电感器的阻抗随频率升高而增大,根据阻抗的定义可表示为:

\[ Z=\frac{V}{I}=\frac{L\omega I_0 cos(\omega t)}{\omega I_0 sin(\omega t)}=\omega L \cdot \frac{cos(\omega t)}{sin(\omega t)} \]

可见,由于电感器的特性,频率越高,交流电流流经电感器就变得越困难。

与电容器同理,对于电感器的阻抗,其相位是 \(+90°\),用复数 \(i\) 表示。电感器阻抗复数表现形式为 \(Z=i\omega L\)

在实际去耦电容器中,其自身形状和封装会带来寄生电感,大约为 \(2nH\)。如果视其为理想电感器,那么在 \(1GHz\) 下,会带来 \(Z=2\pi \cdot 1GHz \cdot 2nH=12Ω\) 的阻抗。因为在相同频率下,理想电容器的阻抗仅为 \(0.01Ω\),故可解释为在高频下,实际电容器表现为感性。

参考与致谢

  • 《信号完整性与电源完整性分析》

原文地址:https://wiki-power.com/
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